離散数学

数と表現

令和元年度 秋期 問 82

次の体系をもつ電話番号において、80 億個の番号を創出したい。番号の最低限必要な桁数は幾つか。ここで、桁数には "020" を含むこととする。

ア　11

イ　12

ウ　13

エ　14

令和元年度 秋期 問 82

解答

ウ　 13

"ア　 11" 桁の場合

問題文に「ここで、桁数には "020" を含むこととする。」とあるので、この 11 桁 は "020 の 3 桁" を含めた桁数です。
よって、四角 □ の部分は "020 の 3 桁" を除いた 8 桁 となります。

四角 □ の部分は下記のようになります。

• 8 桁目：1〜3、5〜9 の 8 通りの数字
• 1〜7 桁目：0〜9 の 10 通りの数字

  

1〜7 桁目の四角 □ で、0000000〜9999999 の 10,000,000 (1 千万) 個の番号を表せます。

8 桁目は 1〜3、5〜9 の 8 通りの数字をとります。
また、先頭の 020 は固定なので番号の数に影響しません。
よって、"ア　 11" 桁では 8 桁目の 8 通り x 1〜7 桁目の 10,000,000 個 = 80,000,000 (8 千万) 個の番号を表せます。

"イ　 12" 桁の場合

12 桁の場合、1〜8 桁目が 0〜9、9 桁目が 1〜3、5〜9 となります。
1〜8 桁目の四角 □ で、00000000〜99999999 の 100,000,000 (1 億) 個の番号を表せます。
よって、"イ　 12" 桁では 9 桁目の 8 通り x 1〜8 桁目の 100,000,000 個 = 800,000,000 (8 億) 個の番号を表せます。

"ウ　 13" 桁の場合

13 桁の場合、1〜9 桁目が 0〜9、10 桁目が 1〜3、5〜9 となります。
1〜9 桁目の四角 □ で、000000000〜999999999 の 1,000,000,000 (10 億) 個の番号を表せます。
よって、"ウ　 13" 桁では 10 桁目の 8 通り x 1〜9 桁目の 1,000,000,000 個 = 8,000,000,000 (80 億) 個の番号を表せます。
80 億個の番号を表せる最低限必要な桁数が解答なので、答えは "ウ　 13" 桁となります。

"エ　 14" 桁の場合

14 桁の場合、1〜10 桁目が 0〜9、11 桁目が 1〜3、5〜9 となります。
1〜10 桁目の四角 □ で、0000000000〜9999999999 の 10,000,000,000 (100 億) 個の番号を表せます。
よって、"エ　 14" 桁では 11 桁目の 8 通り x 1〜10 桁目の 10,000,000,000 個 = 80,000,000,000 (800 億) 個の番号を表せます。

集合

論理演算